Chapitre II Etude des systèmes et modélisation |
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| II. Elaboration des modèles mathématiques (suite) | |||
| c- Estimation
des microconstantes et autres paramètres C’est uniquement à partir des résultats expérimentaux regroupés dans la courbe de l’évolution temporelle des concentrations plasmatiques en marqueur et de l’équation poly-exponentielle |
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| c1 = A1 e-at + B1 e-bt + … + M1 e-mt | II-51 | ||
| qui
la décrit que sont estimées les microconstantes et les
autres paramètres d’un modèle. Pour obtenir les
flux en masse par unité de temps, il est en outre
nécessaire de mesurer la concentration plasmatique en
marqué Cp (masse par unité de volume). Dans
le cas de l’eau corporelle par exemple Cp
= 1 kg d’eau / litre. Quel que soit le modèle théorique envisagé, V1 et K1 sont immédiatement estimables. En effet V1 exprimé en volume équivalent de plasma est toujours le rapport de la dose D (= q1(0) = 100 %) sur c1(0), concentration plasmatique du marqueur au temps t = 0, c’est-à-dire sur la somme des coefficients exponentiels : |
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| V1 = D / (A1+B1+…+M1) . | II-52 | ||
| On démontre que K1 est toujours égal à | |||
| (A1.a +B1.b +…+M1.m ) / (A1+B1+…+M1) . | II-53 | ||
| Vérifions-le avec notre système eau à 2 compartiments. Puisque D/V1 est égal à c1(0), nous pouvons écrire : | |||
| A1 = (A1 + B1) (K2 – a) / (b – a) et B1 = (A1 + B1) (K2 – b) / (a – b) | II-54 | ||
| Puisque "x = a + b = K1 + K2" remplaçons K2 par "a + b – K1" dans A1 ou B1 (c’est indifférent) pour obtenir : | |||
| A1 = (b – a) / (A1 + B1) = b – K1 ou B1 = (a – b) / (A1 + B1) = a – K1 | II-55 | ||
| En isolant K1 on obtient bien : | |||
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II-56 | ||
| Exercice : vérifions que pour le système eau à 3 compartiments | |||
| K1 = (A1.a +B1.b +C1.c ) / (A1+B1+C1) . | II-57 | ||
| Réponse : en notant que D/V1 est égal c1(0) et que K3 = k23. | |||
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II-58 | ||
| Puisque " x = a + b + c = K1 + K2 + k23 " remplaçons k23 par " a + b + c – K1 – K2 ". Choisissons A1 et B1 (on peut choisir A1 et C1 ou encore B1 et C1) pour obtenir : | |||
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II-59 | ||
| Après avoir isolé dans chaque égalité le terme contenant k32, on a l’égalité suivante : | |||
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II-60 | ||
| L’isolement de K1 entraînant l’élimination de K2 on obtient successivement : | |||
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II-61 | ||
| Les dernières manipulations algébriques nous donnent bien : | |||
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II-62 | ||
| En
remplaçant les coefficients et constantes exponentielles
de la formule II-62 par leurs valeurs numériques
(équation II-13) on retrouve bien la valeur attendue K1
= 52,04 / heure. Pour un système tel que celui de l’eau où seul le compartiment central est en relation directe avec l’extérieur la détermination des microconstantes "kji" et autres paramètres est relativement aisée. Mais revenons à notre modèle à 2 compartiments. Grâce aux expressions obtenues lors des transformations de Laplace : |
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| a + b = K1
+ k12 et a.b
= k01.k12
A1 = (D/V1).(k12 - a) / (b - a) et B1 = (D/V1).(k12 - b) / (a - b) |
II-63 | ||
| on peut calculer k12, k01 et k21. Connaissant "K1" estimé plus haut il vient immédiatement : | |||
| k12 = a + b – K1 | II-64 | ||
| Puisque le volume du compartiment central V1 = D / (A1 + B1), on peut aussi calculer k12 à partir de l’une ou l’autre des égalités suivantes : | |||
| A1 = (A1 + B1) (k12 - a) / (b - a) et B1 = (A1 + B1) (k12 - b) / (a - b) | II-65 | ||
| De sorte que : | |||
| k12
= (A1 b
+ B1
a) / (A1 + B1)
k01 = a b / k12 k21 = K1 – k01 |
II-66 II-67 II-68 |
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| La clairance plasmatique "Clp" représente le volume équivalent de plasma épuré du marqueur par unité de temps. Elle est le produit de la constante d’élimination à partir du compartiment central par son volume : | |||
| Clp = k01.V1 | II-69 | ||
| On
obtient le flux d’élimination du marqué en
multipliant la clairance plasmatique Clp par
la concentration en marqué "Cp".
Par exemple, dans le système eau à 3 compartiments où
V1 = 3 litres équivalents de plasma, k01
= 0,04 / h et Cp = 1 kg / litre, la clairance
plasmatique de l’eau Clp = 0,04 x 3 =
0,12 litre / heure et le flux d’élimination Clp.Cp
= 0,12 x 1 = 0,12 kg d’eau / heure soit 2,88 kg /
jour. Dans un tel système le flux d’élimination de
l'eau est égal au flux d’entrée "R10". La clairance plasmatique Clp est aussi rapidement calculée par le "rapport de la dose injectée sur la surface sous la courbe" ou "AUC", pour "Area Under the Curve" : |
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II-70 | ||
| En remplaçant "k01" et "V1" par leur expression tirée des formules développées lors de l’estimation des microconstantes (éq. II-52 et 67), soit | |||
| k01 = a b / k12 = a b (A1 + B1) / (A1 b + B1 a) et V1 = D / (A1 + B1) | II-71 | ||
| on obtient | |||
| Clp = D a b / (A1 b + B1 a) = D / (A1 / a + B1 / b) | II-72 | ||
| Le dénominateur "(A1 / a + B1 / b)" est justement l’intégrale définie entre t = 0 et t = ¥ de l’équation des concentrations c1 = A1.exp(-a.t) + B1.exp(-b.t) et donc la surface sous la courbe ou AUC. L’AUC généralisée à tous les systèmes compartimentaux s’exprime donc par | |||
| AUC = (A1 / a + B1 / b + … + M1 / m) | II-73 | ||
| Remarque : on peut démontrer (voir chapitre I) que l’intégrale définie entre t = 0 et t = ¥ d’une poly-exponentielle telle que | |||
| c1 = A1 exp(-a t) + B1 exp(-b t) + … + M1 exp(-m t) | II-74 | ||
| est égale à | |||
| [0 + K] – [– (A1
/ b) – (B1
/ b) – … – (M1
/ m) + K] = (A1 / a + B1 / b + … + M1 / m). |
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