Chapitre II

Etude des systèmes et modélisation
 
II. Elaboration des modèles mathématiques
 
a- Equations différentielles linéaires.

Pour tout modèle théorique la première étape consiste à poser le réseau d’équations différentielles linéaires décrivant le système. Reprenons notre modèle à 3 compartiments de l’eau corporelle :
 

Figure II-6 : Modèle théorique du métabolisme de l’eau corporelle.

   
Après injection d’une dose unique de 3H2O dans le compartiment 1 (central) par voie IV, la variation de la quantité de marqueur dans chaque compartiment en fonction du temps est exprimée par un réseau d’équations différentielles linéaires qui constitue le modèle mathématique du système :
dq1/dt = -K1q1 + k12q2 > 0

dq2/dt = +k21q1 -K2q2 + k23q3 > 0

dq3/dt = +k32q2 -K3q3 > 0

II-17
Ce qui entre dans un compartiment est compté comme positif, ce qui en sort comme négatif. K1 = (k01 + k21), K2 = (k12 + k32), K3 = k23. Parce que les contenus en 3H2O diminuent en fonction du temps, ce système est dit en état non stationnaire.

Si l’on considère les mouvements de l’eau non radioactive :
dQ1/dt = +R10 -K1Q1 + k12Q2 = 0

dQ2/dt = +k21Q1 -K2Q2 + k23Q3 = 0

dQ3/dt = +k31Q2 –K3Q3 = 0

 II-18
Dans ce cas, les variations de Q1, Q2 et Q3 sont nulles. On dit que ce système est en état stationnaire car, pour chaque compartiment, la somme des entrées (+) compense la somme des sorties (-). K1, K2 et K3 représentent dans ce cas les constantes de renouvellement des compartiments 1, 2 et 3.

Dans l’analyse de flux de substances endogènes, telles que l’eau, caractérisées par le renouvellement, sont superposés un système en état stationnaire (eau non radioactive) et un système en état non stationnaire (3H2O), ce dernier permettant d’estimer les paramètres du premier.
b- Transformations de Laplace.

Le suivi de l’état du système pendant toute la durée de l’analyse nécessite l’intégration des équations différentielles linéaires du modèle mathématique (équations II-17) pour obtenir les équations pratiques des courbes expérimentales.

Il est facile d’intégrer l’équation différentielle linéaire d’un système à un compartiment tel que celui de l’eau à partir de 6 heures après injection de 3H2O (voir chap. I, éq. I-61 et 62) :
dq1/dt = -k01q1

q1 = q1(0)e-k01t

 II-19
où la quantité q1 de marqueur est exprimée en % de la dose injectée au temps "t" et q1(0) est égal à 100 % de la dose injectée (q1 pour t = 0).

Poursuivons l’application pour le modèle eau à 3 compartiments marquée par 3H2O dont le réseau d’équations différentielles linéaires du modèle mathématique a été construit antérieurement (équations II-17) :
dq1/dt = -K1q1 + k12q2

dq2/dt = +k21q1 -K2q2 + k23q3

dq3/dt = +k32q2 -K3q3
L’étape suivante consiste à effectuer les transformées de Laplace de ce réseau d’équations en suivant les indications des paragraphes précédents :
sF1 – q1(0) = -K1F1 + k12F2

sF2 – q2(0) = +k21F1 -K2F2 + k23F3

sF3 – q3(0) = +k32F2 -K3F3

 II-20
où q1(0) = 1 soit 100 % de la dose injectée, q2(0) = q3(0) = 0.

Arrangeons ces équations en réseau matriciel pour obtenir les transformées F1, F2 et F3 correspondant aux fonctions f1(t) = q1, f2(t) = q2 et f3(t) = q3 :
 
II-21
     
La règle de Cramer (voir chap. I) permet d’établir les transformées de Laplace F1, F2 et F3 :
 
II-22
     
Le déterminant de la matrice |A| au dénominateur est égal à :
s3 + s2 (K1 + K2 + K3) + s(K1K2 + K2K3 + K1K3 – k12k21 - k23k32) + K1K2K3 – K1k23k32 - K3k12k21 II-23
Il s’agit d’une expression cubique du type :
(s + a) (s + b) (s + c) = s3 + s2 (a + b + c) + s (ab + ac + bc) + abc II-24
En combinant les équations II-23 et II-24 nous posons :
x = a + b + c = K1 + K2 + K3

y = ab + bc+ ac = K1K2 + K2K3 + K1K3 – (k12k21 + k23k32)

z = abc = K1K2K3 – (K1k23k32 + K3k12k21)

 II-25
Par conséquent :
II-26
En substituant le vecteur B [q1(0), 0, 0] à la 2ème puis à la 3ème colonne du numérateur on obtient successivement les deux autres transformées :

II-27

II-28
Chacune de ces transformées a 3 pôles sp (s1 = -a, s2 = -b et s3 = -c). La transformation inverse de la transformée de Laplace F1 nous permet d’obtenir la fonction f1(t) = q1 (% de la dose dans le compartiment 1 au temps t). La fonction f1(t) = q1 est la somme de 3 résidus (R1 + R2 + R3)  :
, pour s1= -a II-29
où les termes "(s+a)" sont éliminés au numérateur et au dénominateur et les "s" restant remplacés par "–a", ce qui donne le premier résidu :
II-30
qui est aussi l’expression développée de la première exponentielle de f1(t) = q1. Les deux autres résidus sont obtenus de la même manière.
, pour s2 = -b

, pour s3 = -c

 II-31

II-32
Dans la pratique les données expérimentales sont des concentrations plasmatiques "c1" exprimées en % de la dose injectée par unité de volume équivalent de plasma de sorte que le volume "V1" du compartiment est inclus dans la formule. Puisque V1 = q1(0) / c1(0), R1/V1 = A1.e-at, R2/V1 = B1.e-bt et R3/V1 = C1.e-ct. La concentration plasmatique en marqueur c1 est alors :
c1 = A1 e-at  + B1 e-bt  + C1 e-ct II-33
où
A1 = c1(0) [(K2 – a) (K3 – a) – k23 k32] / [(b – a)(c – a)]

B1 = c1(0) [(K2 – b) (K3 – b) – k23 k32] / [(a – b)(c – b)]

C1 = c1(0) [(K2 – c) (K3 – c) – k23 k32] / [(a – c)(b – c)]

 II-34
Les coefficients exponentiels des équations pour q2 et q3 sont obtenus de la même manière que pour ceux de q1 :
A2 = q1(0) k21 (K3 – a) / [(b – a)(c – a)]

B2 = q1(0) k21 (K3 – b) / [(a – b)(c – b)]

C2 = q1(0) (0) k21 (K3 – c) / [(a – c)(b – c)]

 II-35
A3 = q1(0) k21 k32 / [(b – a)(c – a)]

B3 = q1(0) k21 k32 / [(a – b)(c – b)]

C3 = q1(0) k21 k32 / [(a – c)(b – c)]

 II-36
q2 = A2 e-at  + B2 e-bt  + C2 e-ct

q3 = A3 e-at  + B3 e-bt  + C3 e-ct

II-37

II-38
L’élaboration du modèle mathématique pour le système eau réduit à deux compartiments procède de la même technique mais les calculs sont évidemment moins longs :
dq1/dt = -K1q1 + k12q2

dq2/dt = +k21q1 -K2q2

II-39
sF1 – q1(0) = -K1F1 + k12F2

sF2 – q2(0) = +k21 F1 -K2 F2

II-40
où q1(0) = 100 % de la dose injectée et q2(0) = 0.
 
II-41
     
Avec le déterminant de la matrice carrée "|A|" on obtient l’équation simplifiée :
(s + a) (s + b) = s2 +s (a + b) + ab II-42
de telle sorte que :
x = a + b = K1 + K2

y = ab = K1K2 – k12k21

 II-43
Les transformées de Laplace :

II-44

II-45
ont chacune 2 pôles "sp" (s1 = -a et s2 = -b). Chacune des fonctions f1(t) = q1 et f2(t) = q2 est la somme de 2 résidus "R1 + R2".

En ce qui concerne la fonction q1  :
, pour s1 = -a

, pour s2 = -b

 II-46
De la même manière que pour le modèle à 3 compartiments l’équation des concentrations plasmatiques :
c1 = A1 e-at  + B1 e-bt II-47
où :
A1 = c1(0) (K2 – a) / (b – a)

B1 = c1(0) (K2 – b) / (a – b)

 II-48
La fonction f2(t) :
q2 = A2 e-at  + B2 e-bt II-49
où :
A2 = q1(0) k21 / [(b - a)(c - a)]

B2 = q1(0) k21 / [(a - b)(c - b)]

 II-50
     

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