Chapitre II

Chapitre II Etude des systèmes et modélisation

I. Modèle de l’eau corporelle

a- Rappels sur le métabolisme de l'eau Le modèle de l’eau corporelle chez l’homme (voir l’Introduction) est intéressant par son apparente simplicité : trois compartiments en ligne avec une entrée et une sortie au niveau du premier compartiment. La physiologie de l’eau corporelle est traitée de manière plus détaillée qu’ici dans les cours de Physiologie Animale et les ouvrages classiques de physiologie humaine et animale (Vander, 1995). Les volumes et les flux d’eau estimés pour un individu moyen adulte sont en conformité avec les données de la littérature scientifique (Hevesey, 1934; Bauer, 1975; Rose, 1977; Lassiter, 1980; Abu Khaled, 1987; Aloia, 1998). Par convention on appelle "compartiment central" le compartiment 1 parce qu’il est celui dans lequel on injecte le marqueur et à partir duquel sont effectués les prélèvements de sang et les mesures de concentrations plasmatiques. Il englobe en général le volume plasmatique. Les autres compartiments sont qualifiés de "périphériques". Les valeurs idéalisées du modèle de la figure II-1 ainsi que les concentrations plasmatiques en eau tritiée (tableau II-1) qui en ont été tirées par ordinateur nous servirons de référence pour les développements concernant le métabolisme de l’eau :

Figure II-1 : Métabolisme de l’eau corporelle chez un homme adulte. La flèche rouge ondulée représente l’injection d’une dose traceuse q₁₍₀₎ d’eau tritiée (³H₂O).

Après injection d’une dose traceuse q₁₍₀₎ d’eau radioactive (³H₂O), l’un des marqueurs privilégiés de l’eau, la concentration plasmatique en eau tritiée diminue (Fig. II-2). En quelques jours le marqueur a presque totalement disparu. Représentée en coordonnées semi-logarithmiques l’évolution de la concentration plasmatique en eau tritiée (% de la dose injectée par litre) en fonction du temps (heures) est caractéristique d’un tel système. Les courbes de la figure II-2 présentent une première phase non linéaire depuis l’injection du marqueur jusqu’à 5-6 heures environ suivie d’une deuxième phase linéaire. Cette dernière est l’expression graphique semi-logarithmique d’une seule exponentielle comme on l’a vu dans le premier chapitre "Eléments de mathématiques et calcul matriciel". Si la concentration du marqueur est c₁ et le temps t, l’expression logarithmique de la partie linéaire de la courbe est :

	ln c₁ = - kt + ln c₁₍₀₎	II-1

où k représente la pente de la courbe et c₁₍₀₎ la concentration plasmatique du marqueur extrapolée au temps t = 0. Traduite en exponentielle l’expression logarithmique devient :

	c₁= c₁₍₀₎e^-kt ou c₁= c₁₍₀₎.exp(-kt)	II-2

où k, de même valeur que dans la formule logarithmique, représente le décrément exponentiel ou constante exponentielle. Si les concentrations en eau tritiée plasmatique sont déterminées à partir de 5 heures après l’injection du marqueur le système apparaît comme constitué d’un seul compartiment de 40 litres environ.

Figure II-2 : Evolution du logarithme népérien de la concentration plasmatique en eau tritiée (³H₂O)après injection du marqueur par voie intraveineuse.

b- Analyse du système eau sur plusieurs jours. La représentation semi-logarithmique (Fig. II-2) indique qu’après 5 heures, les concentrations plasmatique, interstitielle et cellulaire en ³H₂O sont identiques (une seule exponentielle) : les trois compartiments sont en équilibre vis-à-vis du marqueur. On peut dès lors assimiler le système à un seul compartiment (Fig. II-3) et extrapoler la courbe plasmatique au temps t = 0.

Figure II-3 : Modèle théorique à 1 compartiment du métabolisme de l’eau. En rouge les mouvements du marqueur.

	c₁= c₁₍₀₎e^-kt	II-3

Le décrément k₀₁ = 0,002994 / heure est à la fois la constante d’élimination de l’eau radioactive et la constante de renouvellement de l’eau stable puisque k₀₁ = K₁. La dose q₁₍₀₎ = 100 % est injectée dans le plasma qui fait partie du compartiment 1 ; c₁₍₀₎ = 2,4896 % de la dose injectée / litre de plasma ; V₁ = q₁₍₀₎ / c₁₍₀₎ = 100 / 2,4896 = 40,166 litres. Bien que légèrement plus élevée, cette valeur est très voisine du volume calculé en utilisant le modèle de référence plus complet à 3 compartiments où le volume de distribution de l’eau V_d = V₁ + V₂ + V₃ = 40,00 litres.

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